线性代数Ax=0存在非平凡解的充分必要条件是系数矩阵之秩r(A)小于未知数个数n?这是为什么?能举一个简单的例子吗?我能否理解为秩的个数就是解的个数?

Question

线性代数
Ax=0存在非平凡解的充分必要条件是系数矩阵之秩r(A)小于未知数个数n?
这是为什么?能举一个简单的例子吗?
我能否理解为秩的个数就是解的个数?

Answer 1

其次方程一定有解,区别在于有零解还是非零解
拿二元一次方程组为例
x+y=2
2x+3y=5
解得x=1,y=1
秩的概念是在高斯变换的情况下有多少个独立的方程组,即这个方程不能被其他的方程或方程组线性表示,如上例所示,你无论怎么加减消元也不能把其中一个用另一个表示[k*(x+y)=2x+3y,k不存在],两个方程能确定两个未知数的值,所以x,y的值是确定的.
x+y=0
2x+5y=0
秩是2等于未知数的个数（两个方程确定两个未知数）
解得x=0,y=0
即只有零解
x+y=0
2x+2y=0
[k*(x+y)=2x2y,k=2,所以能线性表示,所以秩是1]
解得x=-y=k(k为任意实数)
即无穷多解