B是r行r列方阵C是r行n列矩阵C的秩是r证明：如果BC=C则B=E

Question

B是r行r列方阵 C是r行n列矩阵 C的秩是r 证明：如果BC=C则B=E

Answer 1

楼上解答有点问题:C不一定是方阵,所以不能取行列式
提问者若知道下面的结论,问题就简单了:
矩阵行满秩的充分必要条件是矩阵右可逆.
C是r行n列矩阵 C的秩是r ,所以C行满秩
故C右可逆.即存在nxr矩阵P,使得 CP=Er (r阶单位矩阵).
由BC=C,所以 BCP=CP,所以 B=Er.
证法2.由BC=C得 (B-E)C = 0
两边取转置得 C'(B-E)' = 0
因为 r(C')=r(C)=r,所以方程组 C'X=0 只有零解.
故 (B-C)' = 0,即 B-C=0,即得 B=C.