∫上x下0[2f(t)-1]dt=f(x)-1的微分方程及初始条件,且求该微分方程的通解和特解求解啊谢谢大神

Question

∫上x下0[2f(t)-1]dt=f(x)-1的微分方程及初始条件,且求该微分方程的通解和特解 求解啊
谢谢大神

Answer 1

∫ [2f(t)-1]dt=f(x)-1,
两边对 x 求导,得 2f(x)-1=f'(x),
初始条件 当 x=0 时,0=f(0)-1,即 f(0)=1.
记 y=f(x),则 y'=2y-1,dy/(2y-1)=dx
(1/2)ln(2y-1)=x+(1/2)lnC
则通解为 2y-1=Ce^(2x),
将 y(0)=1 代入,得 C=1,则
特解是 y=f(x)=[1+e^(2x)]/2.