求微分方程的特解y'+ycosx=sinxcosx,y(0)=1

Question

求微分方程的特解 y'+ycosx=sinxcosx,y(0)=1

Answer 1

由y'+ycosx=0得dy/y=-cosxdx,
lny=-sinx+c0,
y=ce^(-sinx).
设y=c(x)*e^(-sinx)是原方程的解,则
y'=[c'(x)-c(x)cosx]e^(-sinx),
代入原方程得c'(x)e^(-sinx)=sinxcosx,
∴c'(x)=sinxcosx*e^sinx,
∴c(x)=∫sinxcosx*e^sinx*dx
=∫te^tdt(t=sinx)
=te^t-e^t+C1
=sinx*e^sinx-e^sinx+C1,
∴y=(sinx*e^sinx-e^sinx+C1)e^(-sinx),
又y(0)=1,
∴1=-1+C1,c1=2,
∴y=(sinx*e^sinx-e^sinx+2)e^(-sinx),