复变函数的证明题设Z1,Z2,Z3,三点适合条件：Z1+Z2+Z3=0,IZ1I=IZ2I=IZ3I.证明Z1,Z2,Z3三点是内接于单位圆IZI=1,的一个正三角形的定点

Question

复变函数的证明题
设Z1,Z2,Z3,三点适合条件：Z1+Z2+Z3=0,IZ1I=IZ2I=IZ3I.证明Z1,Z2,Z3三点是内接于单位圆IZI=1,的一个正三角形的定点

Answer 1

很简单,但是有一点我认为你可能说的不对,那就是无法求出三点在一个单位圆上
由于|Z1|=|Z2|=|Z3| 令|Z1|=|Z2|=|Z3|=r
设Z1=r(cosα+isinα) Z2=r(cosβ+isinβ) Z3=r(cosγ+isinγ)
因为Z1+Z2+Z3=0
则 r(cosα+cosβ+cosγ)+ir(sinα+sinβ+sinγ)=0
故 cosα+cosβ+cosγ=0 sinα+sinβ+sinγ=0
上面两式分别将cosγ sinγ移到等式的右边,再两边平方相加
得到 2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1
根据两角差的余弦公式 得到 cos(α-β)=-1/2
同理得到 cos(β-γ)=-1/2 cos(γ-α)=-1/2
故这里可以知道三点对应的复数的复角的差是120度
这样 可以知道Z1 Z2 Z3不但模相等而且两两夹角相等,所以Z1,Z2,Z3构成等边三角形,并且三点都在一个圆上,该等边三角形内接于该圆