利用条件极值方法证明不等式xy*2z*30,y>0,z>0.提示目标函数f（x,y,z）=xy*2z*3,约束条件为x+y+z=a（x>0,y>0,z>0,a>0）.

Question

利用条件极值方法证明不等式xy*2z*30,y>0,z>0.提示目标函数f（x,y,z）=xy*2z*3,约束条件为x+y+z=a（x>0,y>0,z>0,a>0）.

Answer 1

依六元均值不等式得
xy²z³＝108·x·(y/2)·(y/2)·(z/3)·(z/3)·(z/3)
≤108[(x+y/2+y/2+z/3+z/3+z/3)/6]^6
＝108[(x+y+z)/6]^6
＝108(a/6)^6,
即所求最大值为：f(x,y,z)|max＝108(a/6)^6,
此时,x＝y/2＝z/3且x+y+z＝a,
即x＝a/6,y＝a/3,z＝a/2.