求一个三重积分~试用柱坐标,把三重积分∫∫∫f(x,y,z)dV表成累次积分,其中积分区域为球体x^2+y^2+z^2

Question

求一个三重积分~
试用【柱坐标】,把三重积分∫∫∫f(x,y,z)dV表成累次积分,其中积分区域为球体x^2+y^2+z^2

Answer 1

根据柱坐标的公式,积分=∫dθ∫rdr∫f(rcosθ,rsinθ,z)dz.将球体方程x^2+y^2+z^2=z改写为x^2+y^2+(z-1/2)^2=1/4,由于z>0,所以z的积分上限为(1/4-x^2-y^2)^(1/2)+1/2,下限为z=(3x^2+3y^2)^(1/2).将两方程联立,得4x^2+4y^2==(3x^2+3y^2)^(1/2),x^2+y^2=3/16,所以r积分限0到根号3/4,θ积分限0到2π.