在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，点A绕点O按顺时针方向旋转到A′，旋转角为α（0°<α<∠AOD）（1）如图①，则△AA′C的形状是；（2）如图②，当∠α=60°，求A′C长

Question

在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，点A绕点O按顺时针方向旋转到A′，旋转角为α（0°<α<∠AOD）
（1）如图①，则△AA′C的形状是___；
（2）如图②，当∠α=60°，求A′C长度；
（3）如图③，当∠α=∠AOB时，求证：A′D∥AC．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
∵OA=OA′，
∴OA′=OC，
∴∠OAA′=∠OA′A，∠OA′C=∠OCA′，
∴∠OA′C+∠OA′A=∠OCA′+∠OAA′，
∴∠CA′A=90°，
∴△AA′C是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
（2）∵AB=1，BC=2，
∴AC=√(AB2+BC2)=√(5)，
∴OA=OA′=(√(5))/(2)，
∵∠α=60°，
∴△AA′O是等边三角形，
∴∠OAA′=60°，
∴A′C=(√(3))/(2)AC=(√(3))/(2)×√(5)=(√(15))/(2)；
（3）∵∠α=∠AOB，OA=OB=OA′，
∴AA′=AB，∠OAA′=∠OBA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBA=∠OCD，AB=CD，
∴∠OAA′=∠OCD，AA′=CD，
∴四边形A′ACD是等腰梯形，
∴A′D∥AC．