已知椭圆CX2/4+Y2/3=1,试确定M的取值范围,使得对于直线L:Y=4X+M,上恒有不同的两点关与直线L对称如果有这样的两点那么，两点的中点一定在椭圆内部，只要满足这个条件就行了。设交点是A（x1,y1

Question

已知椭圆CX2/4+Y2/3=1,试确定M的取值范围,使得对于直线L:Y=4X+M,上恒有不同的两点关与直线L对称
如果有这样的两点那么，两点的中点一定在椭圆内部，只要满足这个条件就行了。
设交点是A（x1,y1)B(x2,y2)中点坐标是（x中，y中）AB直线方程设为y=-1/4x+b
x1^2/4+y1^2/3=1①
x2^2/4+y2^2/3=1②
y1=-1/4x1+b③
y2=-1/4x2+b④
①-②，得
(x1-x2)(x1+x2)/4+（y1-y2)(y1+y2)/3=0
③-④，得
y1-y2=-1/4(x1-x2)把y1-y2整体代入上式，提取公因式（x1-x2)得
（x1-x2)（2x中/4+-1/4*2y中/3)=0
由于x1不等于x2,所以，
1/2 x中-1/6y中=0
又 y中=4x中+m
x中=-m y中=-3m
x中^2/4 +y中^2/3

Answer 1

设椭圆上有两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线对称,且他们的中点是P(x0,y0)
那么P在直线上,y0=4x0+m
AB连线和y=4x+m垂直
kAB=-1/4
A,B在椭圆上
x1^2/4+y1^2/3=1
x2^2/4+y2^2/3=1
相减有
1/4(x1-x2)x0=-1/3(y1-y2)y0
所以y0/x0=3
即y0=3x0=4x0+m
所以x0=-m,y0=3x0=-3m
又P在椭圆内
所以x0^2/4+y0^2/3