已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点B（0，4），离心率e=0.6．（1）求椭圆C的方程；（2）若O（0，0），P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐

Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点B（0，4），离心率e=0.6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若O（0，0），P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标都是整数的点为整点），使得△OPQ的面积S_△OPQ=4？若存在，请指出共有几个这样的点（不必具体求出这些点的坐标）；否则，说明理由．

Answer 1

（1）设椭圆C的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0），…（1分）
依题意得，b=4，(c)/(a)＝(3)/(5)，又a²=b²+c²，…（3分）
∴a=5，b=4，c=3，…（4分）
所以椭圆C的方程为(x2)/(25)+(y2)/(16)＝1．…（5分）
（2）依题意得，|OP|＝2√(2)，直线OP的方程为 y=x，…（6分）
因为S_△OPQ=4，点Q到直线OP的距离为2√(2)，…（7分）
所以点Q在与直线OP平行且距离为2√(2)的直线l上，…（8分）
设l：y=x+m，则(|m|)/(√(2))＝2√(2)解得m=±4，…（10分）
当m=4时，由

y＝x+4

(x2)/(25)+(y2)/(16)＜1

，消元得41x²+200x＜0，即−(200)/(41)＜x＜0，x∈Z，∴x=-4，-3，-2，-1，相应的y也是整数，
此时满足条件的点Q有4个，…（13分）
当m=-4时，由对称性，同理也得满足条件的点Q有4个．
综上，存在满足条件的点Q，这样的点有8个．…（14分）