已知椭圆C的焦点在x轴上，短轴长和焦距均为2．（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（2）设O为原点．若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

Question

已知椭圆C的焦点在x轴上，短轴长和焦距均为2．
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）设O为原点．若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

Answer 1

解析　（1）由题意知，2c=2，2b=2，∴c=1，b=1，
∴c²=1，b²=1，从而a²=c²+b²=2．∴a=√(2)，
∴椭圆C的标准方程为(x2)/(2)+y²=1，椭圆C的离心率e=(√(2))/(2)．
（2）设点A，B的坐标分别为（t，2），（x₀，y₀），其中x₀≠0．
因为OA⊥OB，所以

OA

•

OB

=0，即tx₀+2y₀=0，解得t=-(2y0)/(x0)．
又

x

2 0

+2

y

2 0

＝2，
所以|AB|²=（x₀-t）²+（y₀-2）²
=（x₀+(2y0)/(x0)）²+（y₀-2）²
=(x20)/(2)+(4)/(x20)+3，
≥2

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