如图：已知椭圆A，B，C是长轴长为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心O，且AC•BC=0，|BC|=2|AC|．（Ⅰ）求椭圆的标准

Question

如图：已知椭圆A，B，C是长轴长为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心O，且

AC

•

BC

=0，|

BC

|=2|

AC

| ．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）如果椭圆上两点P，Q使得直线CP，CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数λ使

PQ

=λ

AB

？请给出证明．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆方程为 (x2)/(a2) +(y2)/(b2) =1(a＞b＞0) ，
∵椭圆的长轴长为4，
∴a=2，
∵点A是长轴的一个顶点，
∴A（2，0），
∵

AC

•

BC

=0，|

BC

|=2|

AC

| ．
∴△AOC是等腰直角三角形，从而C（1，1），
代入椭圆方程得 (1)/(4) +(1)/(b2) =1⇒ b 2 =(4)/(3) ，
∴椭圆方程为 (x2)/(4) +(3 y2)/(4) =1 ．

（Ⅱ）设直线l _PC ：y=kx+1-k（k≠0）
与椭圆方程 (x2)/(4) +(3 y2)/(4) =1 联立得到（3k ² +1）x ² +6k（1-k）x+3（1-k） ² -4=0
则△=[6k（1-k）] ² -4（3k ² +1）[3（k-1） ² -4]=4（3k+1） ² ＞0从而 k≠-(1)/(3) 且k≠0
设点P（x ₁ ，y ₁ ），而C（1，1），由韦达定理知 1+ x 1 =(6k(k-1))/(3 k2 +1) ⇒ x 1 =(3 k2 -6k-1)/(3 k2 +1)
代回l _PC ：y=kx+1-k得到 y 1 =(-3 k2 -2k+1)/(3 k2 +1)
∵直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形
∴直线CP、CQ的斜率互为相反数，即 k≠-(1)/(3) ，k≠(1)/(3) 且k≠0
故设点Q（x ₂ ，y ₂ ），同理可知 x 2 =(3 k2 +6k-1)/(3 k2 +1) ， y 2 =(-3 k2 +2k+1)/(3 k2 +1)
所以

PQ

=((12k)/(3 k2 +1) ，(4k)/(3 k2 +1) )
∵椭圆是中心对称图形
∴B（-1，-1），

AB

=(-3，-1)
故

PQ

=-(4k)/(3 k2 +1)

AB

，即总存在实数λ使

PQ

=λ

AB