已知,椭圆中心在原点,焦点在x轴上,过其右焦点F作斜率为1的直线l,交椭圆于A、B两点,若椭圆上存在一点C,使OA（向量）+OB（向量）=OC（向量）.（1）求椭圆的离心率（2）若|AB|=15,求这个椭圆的

Question

已知,椭圆中心在原点,焦点在x轴上,过其右焦点F作斜率为1的直线l,交椭圆于A、B两点,若椭圆上存在一点C,使OA（向量）+OB（向量）=OC（向量）.
（1）求椭圆的离心率
（2）若|AB|=15,求这个椭圆的方程

Answer 1

设x^2/a^2+y^2/b^2=1,A(x1,y1),B(x2,y2)
OA（向量）+OB（向量）=OC（向量）.
那么C(x1+x2,y1+y2)
而AB:y=(x-c)联立椭圆
有x1+x2=2a^2c/(a^2+b^2)=2a^2c/(2a^2-c^2)
y1+y2=x1-c+x2-c=2a^2c/(2a^2-c^2)-2c=(2c^3-2a^2c)/(2a^2-c^2)=2b^2c/(2a^2-c^2)
把C坐标代入,
有5c^2=2a^2...e=√10/5(有点技巧)
(2)利用焦半径公式:|AB|=2a-e(x1+x2)=15
然后就可以得到a=60/(16-√10)
a^2=3600/(266-32√10)
b^2=a^2(1-e^2)=2160/(266-32√10)
然后(133-16√10)x^2/1800+(133-16√10)y^2/1080=1