有100个苹果,分给10个小朋友.每个小朋友最多分到10个（可以一个也没有）,问有几种分法?苹果都是一样的,小朋友是不同的.就是说,比如分三个苹果,甲2个,乙1个与甲1个,乙2个是不同的不要轻视

Question

有100个苹果,分给10个小朋友.每个小朋友最多分到10个（可以一个也没有）,问有几种分法?
苹果都是一样的,小朋友是不同的.
就是说,比如分三个苹果,甲2个,乙1个与甲1个,乙2个是不同的
不要轻视啊,感觉很难,有水平的可以试推到一般化.
不不不，是最多20个。

Answer 1

我算的答案是342237634221,三千多亿种分法……表达式见下.
这类问题通常用母函数来考虑.LZ知道母函数吗?不知也没关系,我下面写了简单的解释.
设有m个苹果,k个小朋友,每人至多n个.
当n,k给定时,分法数是m的函数S(m).
易见,S(m)的母函数是f(x)=(1+x+x^2+…+x^n)^k.也就是说S(m)是f(x)展开式中x^m项的系数.
f(x)=(1-x^(n+1))^k/(1-x)^k
=∑{i=0→k} C(k,i)*x^[i(n+1)]*(-1)^i * ∑{j=0→∞} C(j+k-1,k-1)*x^j
故f(x)中x^m项前系数=∑{i=0→k} (-1)^i*C(k,i)*C(m-ni-i+k-1,k-1).
本题是个具体的情形,此时m=100,n=20,k=10.
这时答案还不算太复杂,为∑{i=0→4} (-1)^i*C(10,i)*C(109-21i,9).
按计算器以后得到结果342237634221.
注：C(n,k)表示n选k的组合数,n