平面向量a,b,c,诺ab=ac,则b=c,为何不满足消去律

Question

平面向量a,b,c ,诺ab=ac,则b=c ,为何不满足消去律

Answer 1

平面向量a,b,c , a,b之间的夹角为,a,c之间的夹角为,
因为ab=|a||b|cos,ac=|a||c|cos.
若ab=ac, 则 |a||b|cos=|a||c|cos.
此时未必有b=c.

例如|a|=9,|b|=2,=60°, |a|=9,|c|=1,=0°,
|a|=9,|b|=2,cos=1/2, |a|=9,|c|=1,cos=1,
显然|a||b|cos=|a||c|cos,
从而ab=ac,
但是因为|b|=2,|c|=1,所以b≠c (只有模相等且方向相同的两个向量才相等,模不等则两向量不等)

因此向量不满足消去律