已知：如图,在四边形ABCD中,△ABD、△BCD、△ABC的面积之比是3∶4∶1,点M、N分别在AC、CD上,满足AM∶AC=CN∶CD,且B、M、N三点共线．求证：M、N平分AC、CD．

Question

已知：如图,在四边形ABCD中,△ABD、△BCD、△ABC的面积之比是3∶4∶1,点M、N分别在AC、CD上,满足AM∶AC=CN∶CD,且B、M、N三点共线．求证：M、N平分AC、CD．

Answer 1

如图,延伸DA,CB相交于G

∵△BCD:△ABC=4:1

∴A到BC的高:D到BC的高=1:4

令△ABC面积为s,△AGB=s1

则△ABD=3s

且△AGB=1/4△BDG=1/4(AGB+ABD)

即s1*4=s1+3*s

∴s1=s

即GB=BC,B为GC中点

AM∶AC=CN∶CD

即AC:AM=CD:CN

即CM:AM=DN:CN

过B作AD平行线分别交AC,DC于M',N'

则M',N'分别为AC,DC中点

若M不为AC中点,则必有

CM:AM=CM:(AM'+MM')<1 且 DN:CN=(DN'+NN'):CN>1

或相反

故M、N只能是AC、CD中点