（2012•浦东新区三模）如图，弧AEC是半径为r的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，线段ED与弧EC交于点G，且EG=23GD，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED，FC=2r．（1）

Question

（2012•浦东新区三模）如图，弧AEC是半径为r的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，线段ED与弧EC交于点G，且EG=(2)/(3)GD，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED，FC=2r．
（1）证明：EB⊥FD；
（2）将△FCG（及其内部）绕FC所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积．

Answer 1

（1）∵AC为直径，点E为弧AC的中点，∴∠ABE=90°，即EB⊥AD，
又FC⊥平面BED，EB平面⊂BED，∴EB⊥FC，又AD∩FC=C，
∴EB⊥平面FBD，FD⊂平面FBD，∴EB⊥FD
（2）如图所示建立空间直角坐标系，
可得C（0，0，0），B（0，-r，0），E（r，-r，0），D（0，r，0），设G（x，y，0），
则由EG=(2)/(3)GD，可得x=(3r)/(5)，y=−(1)/(5)r，∴G的坐标为（(3r)/(5)，−(1)/(5)r，0），
则|CG|2＝((3r)/(5))2+(−(1)/(5)r)2+02=(2)/(5)r2，由题意可知所得的几何体为圆锥，
其底面积为π|CG|²=(2)/(5)πr2，高FC=2r，
所以该圆锥的条件为V=(1)/(3)×(2)/(5)πr2×2r=(4)/(15)πr3