（2014•浦东新区二模）（文）已知中心在原点O，左焦点为F1（-1，0）的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为77|OB|．（1）求椭圆C的方程；（2）过P（3，0）的直线l交椭圆C于R、S

题目详情

（2014•浦东新区二模）（文）已知中心在原点O，左焦点为F₁（-1，0）的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F₁到直线AB的距离为

|OB|．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过P（3，0）的直线l交椭圆C于R、S两点，交直线x=1于Q点，若|PQ|是|PR|、|PS|的等比中项，求直线l的方程；
（3）圆D以椭圆C的两焦点为直径，圆D的任意一条切线m交椭圆C于两点M、N，试求弦长|MN|的取值范围．

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答案和解析

（1）设椭圆C方程为：

＝1（a＞b＞0）
∴直线AB方程为：

−a

＝1…1分
∴F₁（-1，0）到直线AB距离为d＝

|b−ab|

a2+b2

＝

b，
∴a²+b²=7（a-1）²…2分
又b²=a²-1，解得：a=2，b＝

…3分
故：椭圆C方程为：

＝1．…4分
（2）当直线l与x轴重合时，|PQ|=2，而|PR|•|PS|=1×5=5，∴|PQ|²≠|PR|•|PS|
故可设直线l方程为：x=my+3，…5分
代人椭圆C的方程，得：3（my+3）²+4y²=12，即：（3m²+4）y²+18my+15=0
∴△=（18m）²-4×15（3m²+4）=48（3m²-5）
记R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），
∴y1y2＝

3m2+4

，y0＝−

…7分
∵|PQ|²=|PR|•|PS|，即

|PR|

|PQ|

＝

|PQ|

|PS|

⇒

＝