（2014•浦东新区二模）（文）已知中心在原点O，左焦点为F1（-1，0）的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为77|OB|．（1）求椭圆C的方程；（2）过P（3，0）的直线l交椭圆C于R、S

Question

（2014•浦东新区二模）（文）已知中心在原点O，左焦点为F₁（-1，0）的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F₁到直线AB的距离为(√(7))/(7)|OB|．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过P（3，0）的直线l交椭圆C于R、S两点，交直线x=1于Q点，若|PQ|是|PR|、|PS|的等比中项，求直线l的方程；
（3）圆D以椭圆C的两焦点为直径，圆D的任意一条切线m交椭圆C于两点M、N，试求弦长|MN|的取值范围．

Answer 1

（1）设椭圆C方程为：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）
∴直线AB方程为：(x)/(−a)+(y)/(b)＝1…1分
∴F₁（-1，0）到直线AB距离为d＝(|b−ab|)/(√(a2+b2))＝(√(7))/(7)b，
∴a²+b²=7（a-1）²…2分
又b²=a²-1，解得：a=2，b＝√(3)…3分
故：椭圆C方程为：(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．…4分
（2）当直线l与x轴重合时，|PQ|=2，而|PR|•|PS|=1×5=5，∴|PQ|²≠|PR|•|PS|
故可设直线l方程为：x=my+3，…5分
代人椭圆C的方程，得：3（my+3）²+4y²=12，即：（3m²+4）y²+18my+15=0
∴△=（18m）²-4×15（3m²+4）=48（3m²-5）
记R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），
∴y1y2＝(15)/(3m2+4)，y0＝−(2)/(m)…7分
∵|PQ|²=|PR|•|PS|，即(|PR|)/(|PQ|)＝(|PQ|)/(|PS|)⇒(y1)/(y0)＝

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