如图1，抛物线y=ax2+2ax+a-4顶点为A，与x轴交于点B、C（点C在点B左侧），AB交y轴于点D，连结OA，已知OD恰好平分△OAB的面积．（1）求点A的坐标及抛物线的解析式；（2）设抛物线与y轴的交点为M

Question

如图1，抛物线y=ax²+2ax+a-4顶点为A，与x轴交于点B、C（点C在点B左侧），AB交y轴于点D，连结OA，已知OD恰好平分△OAB的面积．
（1）求点A的坐标及抛物线的解析式；
（2）设抛物线与y轴的交点为M，则在抛物线上是否存在点N，使得四边形CBMN的面积最大？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，设过点P（-4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在抛物线上，且在对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．已知直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似，请直接写出符合题意的直线m的解析式．

Answer 1

（1）A（-1，-4），
作AH⊥BC于H，如图1，
∵OD恰好平分△OAB的面积，
∴BD：AB=1：2，
由△DOB∽△AHB，
得BO：BH=BD：AB=1：2，
∴B（1，0），
则解析式为y=x²+2x-3；
（2）M（0，-3）
设N（a，a²+2a-3），y_CM=-x-3，
S_△CMN=(1)/(2)[（-a-3）-（a²+2a-3）]×3=-(3)/(2)（a+(3)/(2)）²+(27)/(8)
当△CNM的面积最大时，四边形CBMN的面积最大．
则N（-(3)/(2)，-(15)/(4)）；
（3）设直线PQ的解析式为y=mx+n，
∵点P（-4，0），Q（0，2），
∴

-4m+n=0

n=2

，
∴m=(1)/(2)，n=2，
∴y=(1)/(2)x+2，
设直线m的解析式为y=k（x+3），
如图2，
设直线m和l相交于点F，
当l和m垂直时，△PFC和△EFQ相似，
则直线m的斜率为-2，
则直线m的解析式为y=-2x-6；
如图3，
设直线m和l的交点为M，直线m与y轴的交点为N，k>(1)/(2)，
联立

y=(1)/(2)x+2

y=k(x+3)

，
解得x=(4-6k)/(2k-1)，y=(k)/(2k-1)，
则点M的坐标为（(4-6k)/(2k-1)，(k)/(2k-1)），
若△PMC∽△NMQ，
则(3k-2)/(1)=((6k-4)/(2k-1))/((k)/(2k-1))，
解得k=2，
故直线m的解析式为y=2x+6．
综上所述直线m的解析式为y=-2x-6或y=2x+6．