如图，直线y=x+b（b＞0）与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，正比例函数y=kx（k＜0）的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=10，BN=3，求MN的长．

Question

如图，直线y=x+b（b＞0）与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，正比例函数y=kx（k＜0）的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=10，BN=3，求MN的长．

Answer 1

直线y=x+b（b＞0）与x轴的交点坐标A为（-b，0），
与y轴的交点坐标B为（0，b），
∴OA=OB，
又∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∵∠MOA+∠MAO=90°，∠MOA+∠MOB=90°，
∴∠MAO=∠MOB，
在△MAO和△BON中

∠MAO＝∠MOB

∠AMO＝∠BNO

OA＝OB

，
∴△MAO≌△NOB，
∴OM=BN，AM=ON，∵AM=10，BN=3，
∴MN=ON-OM=AM-BN=7．