已知一抛物线通过x轴上的两点A（1，0），B（3，0）．（1）求证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于x轴与该抛物线所围图形的面积；（2）计算上述两个平面图形绕x轴旋转一周所产生

Question

已知一抛物线通过x轴上的两点A（1，0），B（3，0）．
（1）求证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于x轴与该抛物线所围图形的面积；
（2）计算上述两个平面图形绕x轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比．

Answer 1

（1）
设过A、B两点的抛物线方程为：
y=a（x-1）（x-3），
则抛物线与两坐标轴所围图形的面积：
S1＝

∫

1 0

|a(x−1)(x−3)|dx＝|a|

∫

1 0

(x2−4x+3)dx＝(4)/(3)|a|，
抛物线与x轴所围图形的面积：
S2＝

∫

3 1

|a(x−1)(x−3)|dx＝|a|

∫

3 1

(4x−x2−3)dx＝(4)/(3)|a|，
所以：S₁=S₂．
（2）
抛物线与两坐标轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体体积：
V1＝π

∫

1 0

a2[(x−1)(x−3)]2dx＝(38)/(15)πa2，
抛物线与x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体体积：
V2＝π

∫

3 1

a2[(x−1)(x−3)]2dx＝(16)/(15)πa2，
所以：(V1)/(V2)＝(19)/(8)．