已知y2=2px,在准线上一点P,过P做抛物线两条切线,求证两个切点连线过焦点能不能不用导数

Question

已知y2=2px,在准线上一点P,过P做抛物线两条切线,求证两个切点连线过焦点
能不能不用导数

Answer 1

对于抛物线Y2=2pX,有如下结论：
抛物线上连线过焦点（即弦）的两点(x1,y1),(x2,y2)满足y1*y2=-p2.
证明较简单,设出直线方程即可,横坐标用纵坐标表示,很巧.

对于抛物线Y2=2pX,设其弦两端点为（y02/2p,y0),(p3/2y02,-p2/y0),抛物线方程的导函数为F(y)=y/p,即(x1-x2)/(y1-y2)=y/p.
故（y1-y2）/(x1-x2)=p/y,即抛物线Y2=2pX上一点（x,y）的切线的斜率为p/y.
故过两端点的切线方程为Y1=(p/y0)x+y0/2, Y2=(-y0/p)x-(p/2y0).
故两直线交点横坐标恒为（-p/2）,又由抛物线图象可知,其纵坐标可以取遍所有实数,故其轨迹方程即准线方程,故在准线上一点P,过P做抛物线两条切线,两个切点连线过焦点.