以x=y=z为轴,且过(-1,3,1)的圆柱面的方程是什么

Question

以x=y=z为轴,且过(-1,3,1)的圆柱面的方程是什么

Answer 1

圆柱面的特点是,上面任意一点到轴的距离相等,利用这一点来求.
设圆柱面上一点为 a = (x, y, z),轴的方向为 b = (1, 1, 1),则：
a * b = x + y + z = |a| * |b| * cos θ,cos θ = (x+ y + z) / (|a| * |b|) =>
sin θ = √( 1 - (cos θ)^2 ) = √( 1 - (x + y + z)^2 / (|a|*|b|)^2 ) =>
距离 d = |a| * sin θ = √(|a|^2 - (x + y + z)^2 / |b|^2) = √( 2/3 (x^2 - x y + y^2 - x z - y z + z^2) ),
将(-1, 3, 1)代入上式得到：√( 2/3 (x^2 - x y + y^2 - x z - y z + z^2) ) = 2√2 =>
x^2 - x y + y^2 - x z - y z + z^2 = 12,这就是目标的圆柱面方程.