解非线性方程已知非线性方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),有个3个特解y1=x,y2=e的x次方,y3=e的2x次方,求非线性方程在初始条件y(o)=0,y'(1)=3的特解?

Question

解非线性方程
已知非线性方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),有个3个特解y1=x,y2=e的x次方,y3=e的2x次方,求非线性方程在初始条件y(o)=0,y'(1)=3的特解?

Answer 1

由方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)---------(1),有个3个特解y1=x,y2=e^x,y3=e^2x
得齐次方程y''+p(x)y'+q(x)y=0----------------(2)的两个特解y11=y2-y1=e^x-x,y22=y3-y1=e^2x-x.
这两个特解线性无关因此可作为齐次方程(2)的通解的基,即y''+p(x)y'+q(x)y=0的通解为:
y=k1(e^x-x)+k2(e^2x-x),k1,k2为任意常数.
方程(1)通解为方程(2)的通解加上方程(1)的任意一个特解.
所以方程(1)通解为y=k1(e^x-x)+k2(e^2x-x)+x---------------------(3) ;
y'=k1(e^x-1)+k2(2e^2x-1)+1------------------------------------(4);
将(3),(4)式分别代入y(0)=0,y'(1)=3的初始条件：
0=k1(1-0)+k2(1-0)+0
3=k1(e^1-1)+k2(2e^2-1)+1
k1=-2/(2e^2-e)
k2=2/(2e^2-e)
把k1,k2带入(3)式,得所以要求的特解为：
y=-2(e^x-x)/(2e^2-e)+2(e^2x-x)/(2e^2-e)+x;