小明训练上楼梯赛跑,他每步可以上1阶、2阶或3阶,这样上到第11阶但不踏到第7阶,共有种不同的方法.

Question

小明训练上楼梯赛跑,他每步可以上1阶、2阶或3阶,这样上到第11阶但不踏到第7阶,共有____种不同的方法.

Answer 1

如果用n表示台阶的级数,an表示某人走到第n级台阶时,所有可能不同的走法,容易得到：
①当n=1时,显然只要1种跨法,即a 1=1
②当n=2时,可以一步一级跨,也可以一步跨二级上楼,因此,共有2种不同的跨法,即a2=2
③当n=3时,可以一步一级跨,也可以一步三级跨,还可以第一步跨一级,第二步跨二级或第一步跨二级,第二步跨一级上楼,因此,共有4种不同的跨法,即a3=4
④当n=4时,分三种情况分别讨论：
如果第一步跨一级台阶,那么还剩下三级台阶,由③可知有a3=4（种）跨法．
如果第一步跨二级台阶,那么还剩下二级台阶,由②可知有a2=2（种）跨法．
如果第一步跨三级台阶,那么还剩下一级台阶,由①可知有a1=1（种）跨法．
根据加法原理,有a4=a1+a2+a3=1+2+4=7
类推,有a5=a2+a3+a4=2+4+7=13
a6=a3+a4+a5=4+7+13=24
a7=0
a8=a5+a6=13+24=37
a9=a6+a8=24+34=61
a10=a8+a9=37+61=98
a11=a8+a9+a10=37+61+98=196