每一个整系数多项式f（n）不可能对每个n属于N都表示质数正在考试麻烦各位会的朋友,不会的别瞎回答,麻烦帮我回答一下标准答案好不好

Question

每一个整系数多项式f（n）不可能对每个n属于N都表示质数
正在考试麻烦各位会的朋友,不会的别瞎回答,
麻烦帮我回答一下标准答案好不好

Answer 1

结论：常表质数的整系数多项式不存在,除非它是0次多项式 f(x)=p （p为质数）.
设 f(x)=an*x^n+a(n-1)*x^(n-1)+.+a1*x+a0 ,其中 ai（i=0,1,2,.,n） 为整数,且 an ≠0 ,n>=1 为正整数.
若有正整数m,使 f(m) ≠0 （因为它不可能对所有整数的函数值均为0,所以一定存在这样的正整数m）,
考查 x=m+k*f(m) （k为任一正整数）时,f(x) 的值.
由二项式定理,x^j=[m+k*f(m)]^j=m^j+f(m)*M(j),其中M(j)为整数,
因此,f(x)=an*[m^n+f(m)*Mn]+a(n-1)*[m^(n-1)+f(m)*M(n-1)]+.+a1*[m+f(m)*M1]+a0
=[an*m^n+a(n-1)*m^(n-1)+.+a1m+a0]+f(m)*M
=f(m)+f(m)*M
为f(m)的倍数.
因此,任一整系数多项式 f(x) （次数大于0次）,不可能常表质数.