已知多项式f(x)=x^6+6x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx-27是一个完全立方式,求f(x)以及它的立方根.用待定系数法,

Question

已知多项式f(x)=x^6+6x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx-27是一个完全立方式,求f(x)以及它的立方根.
用待定系数法,

Answer 1

令f(x)=(x²+mx-3)³
f(x)=x^6+3x⁴(mx-3)+3x²(mx-3)²+(-3)³
=x^6+3mx^5-9x⁴+3x²(m²x²-6mx+9)-27
=x^6+3mx^5-9x⁴+3m²x⁴-18mx³+27x²-27
=x^6+3mx^5+(3m²-9)x⁴-18mx³+27x²-27
=x^6+6x^5+ax⁴+bx³+cx²+dx-27
3m=6 a=3m²-9 b=-18m c=27 d=0
解得
m=2 a=3 b=-36 c=27 d=0
f(x)=x^6 +6x^5 +3x⁴-36x³+27x²-27
f(x)的立方根=x²+2x-3