f(x)=x^3+bx^2+cx有两个不同的极值点A,B.设f(x)在点(1,f(1))和(-1,f(-1))的斜率为K1和K2,若A,B∈(-1,1),求k1k2的积可能取到的最大整数值

Question

f(x)=x^3+bx^ 2+cx 有两个不同的极值点A,B.设f(x)在点(1,f(1))和(-1,f(-1))的斜率为K1和K2,若A,B∈(-1,1),求k1k2的积可能取到的最大整数值

Answer 1

对f(x)求导,
f'(x)=3x^2+2bx+c,
所以k1k2=(3-2b+c)(3+2b+c)=(c+3)^2-4b^2,
又对f'(x),判别式大于0,b^2-3c＞0,
y=f'(x)对称轴∈(-1,1),-3＜b＜3,
(c+3)^2-4b^2＜(3+(b^2)/3)^2-4b^2=(3-(b^2)/3)^2＜3^2=9,
所以k1k2＜9,即k1k2≤8,
当k1k2=8时,取b=0,c=2√2-3即可