如图⊿ABC中BM.CN平分∠ABC,∠ACB的外角,AM⊥BM于N,AN⊥CN于M,求证MN=½(AB+AC+BC)

Question

如图⊿ABC中BM.CN平分∠ABC,∠ACB的外角,AM⊥BM于N,AN⊥CN于M,求证MN=½(AB+AC+BC)

Answer 1

：延长AM、AN分别交于BC的延长线和反向延长线于点E、F
∵BM平分∠ABC的外角
∴∠ABM=∠EBM
∵AM⊥BM
∴∠AMB=∠EMB=90°
又∵BM=BM,∠ABM=∠EBM
∴△ABM≌△EBM
∴AB=EB,AM=EM
同理可证 AC=FC,AN=FN
∴MN是△AEF的中位线
∴MN=1/2EF
∵EF=EB+BC+FC=AB+BC+AC
∴MN=1/2(AB+AC+BC)