求极限 不知道的不要乱回答当x趋近于0,（cot x）^2-1/x^2 的极限是多少答案是-2/3

Question

求极限 不知道的不要乱回答
当x趋近于0,（cot x）^2-1/x^2 的极限是多少
答案是-2/3

Answer 1

lim[x→0] (cot²x - 1/x²)
=lim[x→0] (1/tan²x - 1/x²)
通分
=lim[x→0] (x²-tan²x)/(x²tan²x)
分母用等价无穷小代换
=lim[x→0] (x²-tan²x)/x⁴
洛必达法则
=lim[x→0] (2x-2tanxsec²x)/(4x³)
再洛必达
=lim[x→0] (2-2sec⁴x-4tan²xsec²x)/(12x²)
=lim[x→0] (1-sec⁴x-2tan²xsec²x)/(6x²)
=lim[x→0] (1-sec²x+sec²x-sec⁴x-2tan²xsec²x)/(6x²)
=lim[x→0] (1-sec²x)/6x²+lim[x→0] sec²x(1-sec²x)/(6x²) - lim[x→0] 2tan²xsec²x/(6x²)
=lim[x→0] -tan²x/6x²+lim[x→0] sec²x(-tan²x)/(6x²) - 2lim[x→0] tan²xsec²x/(6x²)
=-1/6 - 1/6 - 2/6
=-2/3
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