a^2+b^2+c^2=1用高等数学中求多元函数极值的方法求ab+ac+bc的最大最小值.如何解驻点,驻点如何取舍?用初等数学中基本不等式是可以解的,现在关键是用多元函数极值法不会求啊,驻点貌似很多

Question

a^2+b^2+c^2=1 用高等数学中求多元函数极值的方法求ab+ac+bc的最大最小值.如何解驻点,驻点如何取舍?
用初等数学中 基本不等式 是可以解的,现在关键是 用多元函数极值法不会求啊,驻点貌似很多个.怎么选?具体列出 拉格朗日辅助函数 后求一阶偏导数,解方程,解方程具体怎么解?

Answer 1

先列出方程组:
b+c+2aλ = 0,
a+c+2bλ = 0,
a+b+2cλ = 0,
a²+b²+c² = 1.
前三式两两相减得:(2λ-1)(a-b) = 0,(2λ-1)(b-c) = 0.
若2λ-1 ≠ 0,则a-b = 0,b-c = 0,即a = b = c.
代回解得a = b = c = ±1/√3,λ = -1,对应ab+bc+ca = 1.
可验证函数ab+bc+ca-(a²+b²+c²-1)在这两点取得最大值.
从而也是ab+bc+ca在条件a²+b²+c² = 1下的最大值.
若2λ-1 = 0,带回得a+b+c = 0.
由2(ab+bc+ca) = (a+b+c)²-(a²+b²+c²) = -1,得ab+bc+ca = -1/2.
可验证函数ab+bc+ca+(a²+b²+c²-1)/2在这些点取得最小值.
从而也是ab+bc+ca在条件a²+b²+c² = 1下的最小值.