已知圆x的平方加y减2的平方等于五,和直线mx-y+1等于0.求弦的中点的方程

Question

已知圆x的平方加y减2的平方等于五,和直线mx-y+1等于0.求弦的中点的方程

Answer 1

联立：x^2＋y^2＝5、mx－y＋1＝0,消去y,得：x^2＋（mx＋1）^2＝5,
∴（1＋m^2）x^2＋2mx－4＝0.
令弦为AB,弦中点为C（x,y）.
∵A、B都在直线mx－y＋1＝0上,∴可设A、B的坐标分别是（p,mp＋1）、（q,mq＋1）.
显然,p、q是方程（1＋m^2）x^2＋2mx－4＝0的两根,∴由韦达定理,有：
p＋q＝－2m/（1＋m^2）.
由中点坐标公式,有：
x＝（p＋q）/2＝－m/（1＋m^2）、y＝［m（p＋q）＋2］/2＝1－m^2/（1＋m^2）,
两式相除,得：（y－1）/x＝m.
∴x＝－［（y－1）/x］/｛1＋［（y－1）/x］^2｝,
∴x｛1＋［（y－1）/x］^2｝＝（1－y）/x,∴［x＋（y－1）］^2＝1－y,
∴x^2＋（y－1）^2＋2x（y－1）＋（y－1）＝0.
∴满足条件的弦中点的轨迹方程是：x^2＋（y－1）^2＋2x（y－1）＋（y－1）＝0.