如何用极坐标表示三角形

Question

如何用极坐标表示三角形

Answer 1

极坐标方程 ρ=R(s),s为夹角
设OA与x夹角为s1,设OB与x夹角为s2
OA⊥OB -> s1-s2=pi/2
△AOB面积S = OA*OB/2 = R(s1)*R(s2)/2
由坐标变换x=cos(s)*R(s),y=sin(s)*R(s)带入抛物线得
sin(s)^2*R(s)^2=2p*cos(s)*R(s)
R(s)=2p*cos(s)/sin(s)^2 因为R(s)恒>0
面积S=2p^2*cos(s1)cos(s2)/sin(s1)^2/sin(s2)^2
s1-s2=pi/2,-> s1=pi/2+s2
所以sin(s1)=sin(pi/2+s2)=cos(s2)
cos(s1)=cos(pi/2+s2)=-sin(s2)
带回S得 S=-2p^2/(cos(s2)sin(s2))=-4p^2/sin(2s2)
这里得注意,s2属于第四象限(3/2pi,2pi),
2s2属于三四象限(3pi,4pi)=(pi,2pi),sin(2s2)为负
所以当sin(2s2)最小时,面积S最小
sin(2s2)