已知直线的参数方程为(为参数)，曲线的极坐标方程为(1)求曲线的普通方程；(2)求直线被曲线截得的弦长.

Question

已知直线 的参数方程为  ( 为参数)，曲线 的极坐标方程为  
(1)求曲线 的普通方程；
(2)求直线 被曲线 截得的弦长.

Answer 1

已知直线 的参数方程为  ( 为参数)，曲线 的极坐标方程为  
(1)求曲线 的普通方程；
(2)求直线 被曲线 截得的弦长.

（１） （２） ．

试题分析：（１）应用余弦的二倍角公式将曲线Ｃ的极坐标方程化为含 的式子，然后应用公式 即可求出曲线Ｃ的普通方程；（２）法一：利用直线的标准参数方程中参数的几何意义来求弦长，选将直线参数方程化为标准参数方程，然后代入曲线Ｃ的普通方程，得到关于参数t的一个一元二次方程，由韦达定理可求出 就是所求弦长；注意直线标准参数方程中参数的两个系数的平方各等于1;法二：将直线的参数方程化为普通方程，联立曲线C的普通方程，消元得到一个一元二次方程，再用韦达定理及弦长公式就可就出所求的弦长．
试题解析：（１）由曲线Ｃ： ，化成普通方程为： ①
（２）方法一：把直线参数方程化为标准参数方程为： ②
把②代入①得： ，设其两根为 ，由韦达定理得：
从而弦长为|t ₁ －t ₂ |＝＝
方法二：把直线 的参数方程化为普通方程为： 代入 得 ．设直线 与曲线Ｃ交于 ，则 ；所以 ．