（2004•重庆）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM=EF（1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；（2）若PA=3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值．

Question

（2004•重庆）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM=EF
（1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；
（2）若PA=3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值．

Answer 1

（I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，
故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，
又AM∥CD∥EF，且AM=EF，
证得AEFM是矩形，故AM⊥MF．
又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，
而MF∥AE，得MF⊥面PCD，
故MF⊥PC，
因此MF是AB与PC的公垂线．
（II）连接BD交AC于O，连接BE，过O作BE的垂线OH，
垂足H在BE上．
易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，
又OH⊥BE，故OH∥DE，
因此OH⊥面MAE．
连接AH，则∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角
设AB=a，则PA=3a，AO＝(1)/(2)AC＝(√(2))/(2)a．
因Rt△ADE～Rt△PDA，故
ED＝(AD2)/(PD)＝(a2)/(√(a2+(3a)2))＝(a)/(√(10))，
OH＝(1)/(2)ED＝(a)/(2√(10))．
从而在Rt△AHO中
sinHAO＝(OH)/(AO)＝(a)/(2√(10))×(2)/(作业帮用户2017-10-08扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)