确定常数λ，使在右半平面x＞0上的向量A（x，y）=2xy（x4+y2）λi-x2（x4+y2）λj为某二元函数u（x，y）的梯度，并求u（x，y）．

Question

确定常数λ，使在右半平面x＞0上的向量A（x，y）=2xy（x⁴+y²）^λ

i

-x²（x⁴+y²）^λ

j

为某二元函数u（x，y）的梯度，并求u（x，y）．

Answer 1

令P（x，y）=2xy（x⁴+y²）^λ，Q（x，y）=-x²（x⁴+y²）^λ，
根据梯度的性质有：(∂Q(x，y))/(∂x)=(∂P(x，y))/(∂y)
其中：(∂Q(x，y))/(∂x)=-2x（x⁴+y²）^λ-x²λ（x⁴+y²）^λ-14x³
=-2x（x⁴+y²）^λ-5λx⁵（x⁴+y²）^λ-1
(∂P(x，y))/(∂y)=2x（x⁴+y²）^λ+2xyλ（x⁴+y²）^λ-12y
=2x（x⁴+y²）^λ+4λxy²（x⁴+y²）^λ-1
因为：(∂Q(x，y))/(∂x)=(∂P(x，y))/(∂y)
于是有：
-2x（x⁴+y²）^λ-5λx⁵（x⁴+y²）^λ-1=2x（x⁴+y²）^λ+4λxy²（x⁴+y²）^λ-1
整理得：
4x（x⁴+y²）^λ（λ+1）=0
因为任意的（x，y）都满足上述方程，
故：λ=-1．
所以，当λ=-1是，所给向量是梯度．
当λ=-1时；
P（x，y）=2xy（x⁴+y²）^λ=(2xy)/(x4+y2)
Q（x，y）=-x²（x⁴+y²）^λ=(−x2)/(x4+y2)
因为满足(∂Q(x，y))/(∂x)=(∂P(x，y))/(∂y)，复合平面上曲线积分与路劲无关的条件；
故任取一点（1，0）作为积分开始点得：
 u（x，y）=

∫	(x，y) (1，0)

[P（x，y）dx+Q（x，y）dy]
=

∫	(x，y) (1，0)

[(2xy)/(x4+y2)dx+(−x2)/(x4+y2)dy]
=

∫

x 1

(2x•0)/(x4+0)dx+

∫

y 0

−x

作业帮用户 2017-10-14

问题解析

令P（x，y）=2xy（x⁴+y²）^λ，Q（x，y）=-x²（x⁴+y²）^λ，根据梯度的性质有：(∂Q(x，y))/(∂x)=(∂P(x，y))/(∂y)．于是可以求得λ的值．再根据曲线积分与路劲无关，可以求得u（u，y）

名师点评

本题考点：

梯度的概念与求解；平面上曲线积分与路径无关的条件．

考点点评：

本题主要考察函数梯度的概念以及平面上曲线积分与路劲无关的条件，综合性较强，两个知识点都是常考的，考生需要完全掌握．

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