如图，正方体ABCD-A1B1C1D1．（1）求二面角A-BD1-C的大小；（2）求BD1与平面ACD1所成角的正弦值．

Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）求二面角A-BD₁-C的大小；
（2）求BD₁与平面ACD₁所成角的正弦值．

Answer 1

（1）在平面ABD₁内，过A作AE⊥BD₁，交BD₁于E，连接CE

△AD₁B与△CD₁B中，AB=BC，AD₁=CD₁，BD₁=BD₁，∴△AD₁B≌△CD₁B，
∴AE=CE
∵AE⊥BD₁，∴CE⊥BD₁，
∴∠AEC为二面角A-BD₁-C的平面角
∵AB⊥平面ADD₁A₁，AD₁⊂平面ADD₁A₁，∴AB⊥AD₁，∴△ABD₁是Rt△，
设正方体的棱长为1，AD₁=√(2)，BD₁=√(3)，
由等面积可得AE•BD₁=AD_1•AB，∴AE=(√(6))/(3)，
在△AEC中，根据余弦定理，cos∠AEC=(AE2+CE2−AC2)/(2AE•CE)=-(1)/(2)
∴∠AEC=120°，即二面角A-BD₁-C的大小为120°；
（2）设BD₁与平面ACD₁所成角为θ，BD₁与平面ACD₁的距离为h，则
由VB−ACD1＝VD1−ABC可得(1)/(3)×(√(3))/(4)×2×h＝(1)/(3)×(1)/(2)×1×1×1
∴h=(√(3))/(3)
∵