已知正方形ABCD.E,F,分别是AB,CD的中点将三角形ADE沿DE折起记二面角A-DE-C的大小为Θ若三角形ACD为正三角形试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上并求角的余弦值

Question

已知正方形ABCD.E,F,分别是AB,CD的中点将三角形ADE沿DE折起记二面角A-DE-C的大小为Θ
若三角形ACD为正三角形试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上并求角的余弦值

Answer 1

因为AG垂直于平面BCDE,所以AG^2+DG^2=AD^2,AG^2+CG^2=AC^2
又AC=AD,所以CG=DG,而F是CD的中点,所以GF垂直于CD,而EF也是垂直于CD的,
所以G在EF上.
作AH垂直于DE于点H,连接HG,则二面角即是角AHG,余弦值为GH/AH,先算正弦,即AG/AH..
可算得AG=3^(1/2)/4,AH=1/2,所以GH=1/4,所以余弦值为1/2.