如图，矩形ABCD所在平面垂直△ABE所在平面，点O、M分别为AB、EC的中点，AB＝2，AD＝AE＝1，BE＝3．（Ⅰ）证明：AE⊥平面CBE；（Ⅱ）证明：BM∥平面DEO；（Ⅲ）求直线DE与平面ABCD所成角的正弦值

Question

如图，矩形ABCD所在平面垂直△ABE所在平面，点O、M分别为AB、EC的中点，AB＝2，AD＝AE＝1，BE＝√(3)．
（Ⅰ）证明：AE⊥平面CBE；
（Ⅱ）证明：BM∥平面DEO；
（Ⅲ）求直线DE与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABE，AB=平面ABCD∩平面ABE，BC⊥AB
∴BC⊥平面ABE
∵AE⊂平面ABE∴AE⊥BC…（2分）
∵AB²=2²=4=AE²+BE²=1+3
∴AE⊥BE…（3分）
∵BC∩BE=B，BC，BE⊂平面CBE
∴AE⊥平面CBE；                                    …（4分）
（Ⅱ）证明：设DE的中点为N，连接MN，ON，在三角形EDC中，
MN为DC的中位线，故MN∥DC，MN＝(1)/(2)DC，…（5分）
∴MN∥AB，MN＝(1)/(2)AB…（6分）
∵O为AB的中点，∴MN∥BO，MN=BO．
∴四边形MNOB为平行四边形
∴BM∥ON…（7分）
∵ON⊂平面DEO，BM⊄平面DEO
∴BM∥平面DEO；                …（8分）
（Ⅲ）过点E作EF⊥AB于点F，连接DF与BC⊥面ABE同理可得EF⊥平面ABCD．（9分）
∴DF为DE在面ABCD上的射影
∴∠EDF为直线DE与面ABCD所成的角  …（10分）
∴在Rt△EFD中sin∠EDF＝(EF)/(DE)
在Rt△DAE中，DE＝√(DA2+AE2)＝√(12+12)＝√(2)…（11分）
在Rt△AEB中，EF＝(AE×BE)/(AB)＝(√(3))/(2)…（12分）
∴sin∠EDF＝(EF)/(DE)＝((√(3))/(2))/(作业帮用户2017-10-10举报问题解析（Ⅰ）利用线面垂直的判断定理，证明AE⊥BC和AE⊥BE．（Ⅱ）利用线面平行的判定定理，证明BM∥ON，即可．（Ⅲ）先确定直线DE与平面ABCD所成角，然后计算即可．名师点评本题考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．考点点评：本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，要求熟练掌握相关的判定定理．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)