长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知二面角A1-BD-A的大小为π6，若空间有一条直线l与直线CC1，所成的角为π4，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是（）A.[π12，7π12]B.[π12，π2]C.[π12，5π12]D.[0

Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知二面角A₁-BD-A的大小为

(π)/(6)，若空间有一条直线l与直线CC₁，所成的角为(π)/(4)，则直线l与平面A₁BD所成角的取值范围是（　　）

A. [

(π)/(12)，(7π)/(12)]

B. [

(π)/(12)，(π)/(2)]

C. [

(π)/(12)，(5π)/(12)]

D. [0，

(π)/(2)]

Answer 1

如图所示，过点A作AO⊥BD，连接A₁O，由三垂线定理可得BD⊥A₁O，则∠AOA₁为二面角A₁-BD-A的平面角，∴∠AOA₁=(π)/(6)．
把直线l平移到AM，则∠A₁AM=∠MAO=(π)/(4)．
过点A作AP⊥A₁O，则AP⊥平面A₁BD．
∴AM（即直线l）与平面A₁BD所成的最大角为∠AMA₁=∠MAO+∠MOA=(π)/(4)+(π)/(6)=(5π)/(12)．
假设∠A1AN=(π)/(4)，AN与直线OP相交于点N，则AN（即直线l）
与平面A₁BD所成的最小角为∠ANP=∠PA₁A-∠A₁AN=(π)/(3)-(π)/(4)=(π)/(12)．
∴直线l与平面A₁BD所成角的取值范围是[(π)/(12)，(5π)/(12)]．
故选：C．