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如何证明:四面体的六个二面角的平分面交于一点
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如何证明:四面体的六个二面角的平分面交于一点
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答案和解析
证明仿照三角形的三条内角平分线共点.
设四面体四个顶点为ABCD.
考虑以AB,BC,CA为棱的三个二面角.
它们的三个平分面有一个交点I.
由I在二面角C-AB-D的平分面上,可知I到ABC的距离 = I到ABD的距离.
同理,由I在二面角A-BC-D的平分面上,可知I到ABC的距离 = I到BCD的距离.
而由I在二面角B-CA-D的平分面上,可知I到ABC的距离 = I到ACD的距离.
于是I到四个面的距离相等.
由I到ABD的距离 = I到ACD的距离,可知I在二面角B-AD-C的平分面上.
由I到ABD的距离 = I到BCD的距离,可知I在二面角A-BD-C的平分面上.
由I到ACD的距离 = I到BCD的距离,可知I在二面角A-CD-B的平分面上.
于是六个二面角的平分面都过I点,即六面共点.
设四面体四个顶点为ABCD.
考虑以AB,BC,CA为棱的三个二面角.
它们的三个平分面有一个交点I.
由I在二面角C-AB-D的平分面上,可知I到ABC的距离 = I到ABD的距离.
同理,由I在二面角A-BC-D的平分面上,可知I到ABC的距离 = I到BCD的距离.
而由I在二面角B-CA-D的平分面上,可知I到ABC的距离 = I到ACD的距离.
于是I到四个面的距离相等.
由I到ABD的距离 = I到ACD的距离,可知I在二面角B-AD-C的平分面上.
由I到ABD的距离 = I到BCD的距离,可知I在二面角A-BD-C的平分面上.
由I到ACD的距离 = I到BCD的距离,可知I在二面角A-CD-B的平分面上.
于是六个二面角的平分面都过I点,即六面共点.
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