立体几何已知两个平面的方程,怎样求出其二面角平分线所在平面的方程呢?

Question

立体几何已知两个平面的方程,怎样求出其二面角平分线所在平面的方程呢?

Answer 1

加起来.
具体如下：
设平面方程分别为A：ax+by+cz+d=0与B：a'x + b'y + c'z +d' = 0.
同时设系数已归一化：a^2+b^2+c^2 = a'^2 + b'^2 + c'^2 = 1
则(ax+by+cz+d) + (a'x + b'y + c'z +d') ＝ 0
或(ax+by+cz+d)- (a'x + b'y + c'z +d') = 0
为所求方程.
证明：首先看法向.由于(a,b,c)与(a',b',c')都是单位向量,所以(a+a',b+b',c+c')与(a-a',b-b',c-c')一定是在原来两个向量的平分方向的.所以法向量是对的.
再看位置：由
u*(ax+by+cz+d) + v*(a'x + b'y + c'z +d') = 0定义的平面(u,v为不全为0的参数),称为A,B两个平面的平面束,这样的平面一定过A,B两平面的交线（因为交线上的点都满足A,B的平面方程,所以也满足平面束中任意一个平面的方程）.特别地,取(u,v) = (1,1) ,(1,-1)得到的平面也过A,B的交线,再加上法方向是对的,这就是所求二面角的平分面.
＊注意二面角一般有两个.如果要指定求某一个,必须对法方向的有更深入的考察.