等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足ADDB=CEEA=12（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1-DE-B为直二面角，连结A1B、A1C（如图2）．（Ⅰ）求证：A1D⊥平

Question

等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足(AD)/(DB)=(CE)/(EA)=(1)/(2)（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁-DE-B为直二面角，连结A₁B、A₁C （如图2）．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BCED；
（Ⅱ）若P是线段BC上的点，且三棱锥D-A₁EP的体积为(√(3))/(6)，求BP长．

Answer 1

（Ⅰ）证明：等边三角形ABC的边长为3，
且(AD)/(DB)＝(CE)/(EA)＝(1)/(2)，
∴AD=1，AE=2，又∠DAE=60°，
∴DE＝√(3)⇒DE⊥AB⇒DE⊥A1D，
又二面角A₁-DE-B为直二面角，
平面A₁DE∩平面BDE=DE，
∴A₁D⊥DE，A₁D⊥BD，∴A₁D⊥平面BDEC．
（Ⅱ）设PB=x，
由（1）知VD−A1EP＝VA1−DEP＝(1)/(3)•A1D•S△DEP＝(√(3))/(6)，
∴S△DEP＝(√(3))/(2)，
又在△ABC中，
S_△DEP=S_△ABC-S_△DBP-S_△ECP-S_△ADE
(√(3))/(2)＝(9√(3))/(4)−(√(3))/(2)

作业帮用户 2017-10-05