求曲线y=根号x的一条切线L,使该曲线与切线L及直线x=0,x=2所围成的平面图形面积最小.

Question

求曲线y=根号x的一条切线L,使该曲线与切线L及直线x=0,x=2所围成的平面图形面积最小.

Answer 1

对y＝√x求导数,得：y′＝1/（2√x）.
令切点的坐标为P（a,√a）,则切线的斜率＝1/（2√a）,
∴切线的方程是y－√a＝［1/（2√a）］（x－a）,∴y＝x/（2√a）＋√a/2.
显然,y＝√x是抛物线y^2＝x在第一象限的部分,∴y＝√x在切线L的下方.
令y＝√x、直线L、x＝0、x＝2所围成的区域面积为S.则：
S＝∫（上限2、下限0）［x/（2√a）＋√a/2－√x］dx
＝［1/（2√a）］∫xdx＋（√a/2）∫dx－∫√xdx
＝［1/（2√a）］x^2｜（上限2、下限0）＋（√a/2）x｜（上限2、下限0）
　－（2/3）x^（3/2）｜（上限2、下限0）
＝2/√a＋√a－（2/3）×2√2.
∴当2/√a＝√a时,S最小,此时,√a＝2.
∴满足条件的切线L的方程是y＝x/4＋1.