关于一个立体几何的问题在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC.过BD作于PA平行的平面,叫侧棱PC于点E,又作DF⊥PB,交PB于点F.（1）证明：点E是PC的中点（2）证明：PB⊥平面EFD

Question

关于一个立体几何的问题
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC.过BD作于PA平行的平面,叫侧棱PC于点E,又作DF⊥PB,交PB于点F.
（1）证明：点E是PC的中点
（2）证明：PB⊥平面EFD

Answer 1

以D为原点,向量DA方向为想X轴正方向,向量DC方向为Y轴正方向,向量DP方向为Z轴正方向,建立空间直角坐标系D-XYZ
因为 E在面PDC上
所以 E的横坐标为0
E做DC,PD的垂线,易得两垂线的长度加起来为PD的长
设 PD的长为1,E（0,y,1-y）,面EDB的法向量向量n=（x1,y1,z1）
因为 向量n垂直于向量DE与向量DB
所以 x1= -y1 z1=(y/(1-y))*y1
当x1=1时,向量n=（1,-1,（y/(1-y)) )
因为 向量AP与面DBE平行,所以有
1=y/(1-y)
所以 y=1/2
即E（0,1/2,1/2）
所以E为CP的中点
（2）向量BP=（1,1,-1）向量DE=（0,1/2,1/2）
因为 向量BP与向量DE的数量积等于0
所以 向量BP垂直于向量DE
又因为 向量BP垂直于向量DF
所以BP垂直于面DEF
唔~这个是高二的向量做法,希望您能够接受啦O(∩_∩)O
高二学生留
如果是高一的话.
连接AC交BD于点O
OE为面DEB与面APC的交线
因为 PA平行于面DBE
所以 PA平行于OE（两面相交,一面内一直线平行于另一平面也平行于交线）
因为 O为AC中点
所以 E为PC中点（中位线）
（2）因为BC垂直于DC与PD
所以BC垂直于面PDC
所以BC垂直于PC
说以PB在面PCD上的射影为PC
因为DE垂直于PC
所以DE垂直于PB
所以PB垂直于面DEF