()(本小题满分12分)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥ACD、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1(Ⅰ)证明:AB=ACw.w.w.k.s.5.u.c.o.m(Ⅱ)
()(本小题满分12分)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
如图,直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中,AB⊥AC D、E分别为AA 1 、B 1 C的中点,DE⊥平面BCC 1
(Ⅰ)证明:AB=AC w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60° 求B 1 C与平面BCD所成的角的大小
:解法一:(Ⅰ)取BC中点F,连接EF,则EF
,从而EF
DA.
连接AF,则ADEF为平行四边形,从而AF//DE.又DE⊥平面 ,故AF⊥平面
,从而AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线,所以AB=AC.
(Ⅱ)作AG⊥BD,垂足为G,连接CG.由三垂线定理知CG⊥BD,故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角.由题设知,∠AGC=60 0. .
设AC=2,则AG= .又AB=2,BC=
,故AF=
.
由 得2AD=
,解得AD=
.
故AD=AF.又AD⊥AF,所以四边形ADEF为正方形.
因为BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故BC⊥平面DEF,因此平面BCD⊥平面DEF.
连接AE、DF,设AE∩DF=H,则EH⊥DF,EH⊥平面BCD.
连接CH,则∠ECH为
与平面BCD所成的角.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
因ADEF为正方形,AD= ,故EH=1,又EC=
=2,
所以∠ECH=30 0 ,即 与平面BCD所成的角为30 0 .
解法二:
(Ⅰ)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A—xyz.
设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则 (1,0,2c) E(
,
,c).
于是 =(
,
,0),
=(-1,b 0).由DE⊥平面
知DE⊥BC,
=0,求得b=1,所以 AB=AC.
(Ⅱ)设平面BCD的法向量 则
又
=(-1,1,
0),
=(-1,0,c) 故
令x=1 则y=1 z=
=(1 1
).
又平面 的法向量
=(0,1,0)
由二面角 为60°知,
=60°,
故 °,求得
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
于是 ,
,
°
所以 与平面
所成的角为30°
:要证明AB=AC w,,只需证明底边上的中线和底边垂直即可,所以这里要
做辅助线.已知二面角的大小,做题过程要落实,从而找到个棱长的关系,
做二面角的平面角常常利用三垂线定理和逆定理.要证明B 1 C与平面BCD所成
的角,需要找到垂线和垂面.
因为这是一个直棱柱,且AB⊥AC,所以可以建立空间直角坐标系,
利用空间向量证明和求解,常用平面的法向量求线面角.
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