已知球体半径为R,内接正四棱柱,正四棱柱的体积最大时的底面棱长

Question

已知球体半径为R,内接正四棱柱,正四棱柱的体积最大时的底面棱长

Answer 1

2根3比3
根据三元均值不等式‘三次方根(abc)《 (a+b+c)/3'
当a+b+c为定值时,三次方根(abc)有最大值为(a+b+c)/3 (当且仅当a=b=c是取等号)
因为正四棱柱的体积公式为长乘以宽乘以高,即为A*B*C当且仅当A=B=C的时候取得最大值.
所以球体内体积最大的内接正四棱柱为正方体.（也可以用函数求,不过我觉得还是用三元均值不等式比较简单）
假设内接正方体为ABCDabcd（请严格按照字母顺序画图,且A与a在同一棱上）,连接Ac,Ac即为球体的直径2R,连接AC,因为正方体所以棱Cc垂直于面ABCD且垂直于面内直线AC,三角形ACc为直角三角形,我们设棱长为x,AB=BC=x,勾股定理求的AC=（根2）x,且Cc=x,所以Ac=（根3）x,因为Ac=2R解方程求的x等于2根3比3