圆锥的内接正四棱柱最大面积怎么求?（好的话追加50分!）条件,圆锥底面半径1,圆锥高为2倍根号2

Question

圆锥的内接正四棱柱最大面积怎么求?（好的话追加50分!）
条件,圆锥底面半径 1 ,圆锥高为2倍根号2

Answer 1

设正四棱柱ABCD—A1B1C1D1内接于圆锥SO,过该正四棱柱的对角面AA1C1C作圆锥的截面SEF,则△SEF为圆锥SO的轴截面,
四边形AA1C1C是△SEF的内接矩形.
设圆锥的高SO交A1C1于O1.
∵OE=R,SO=√3R
∴∠ESO＝30°
∴SO1＝√3O1A1
设正四棱柱的底面边长为a,高为h.
则A1C1＝√2a,OO1＝h
∵O1A1＝1/2A1C1＝a√2/2
∴SO1＝a√6/2
∴h=√3R－a√6/2
∴正棱柱表面积S＝2a^2+4ah=2a^2+4a(√3R－a√6/2)=(2-2√6)a^2+4√3aR
∵2-2√6<0∴S有最大值
当a=-4√3R/2(2-2√6)=(3√2+√3)/5R∈(0,√2R)时
S取得最大值=6(√6＋1)R^2/5