△ABC的两个外角∠CAD,∠ACE的平分线交与点P,求证:BP平分∠ABC

Question

△ABC的两个外角∠CAD,∠ACE的平分线交与点P,求证:BP平分∠ABC

Answer 1

证明：如图,过点P作PD⊥AD于D,PE⊥CE于E,PF⊥AC于F

∵AP、CP分别为∠DAC、∠ACE的平分线

    PD⊥AD,PE⊥CE,PF⊥AC

∴PD=PF,PE=PF(角平分线上的任意一点到角两边的距离相等)

∴PD=PE

(如果你已经学了三角形角平分线性质定理的逆定理,到这里就可心得出结论了；如果你还没学到的话就继续下面的步骤)

∵∠BDP=∠BEP=90°,且BP=BP

∴△BDP≌△BEP

∴∠DBP=∠EBP

即BP平分∠ABC