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球面被一平面分割为两部分,面积小的那部分称为“球冠”;同时,垂直于平面的直径被该平面分割为两段,短的一段之长度称为球冠的高.证明:球半径为R高为h的球冠的面积与整个球面

题目详情
球面被一平面分割为两部分,面积小的那部分称为“球冠”;同时,垂直于平面的直径被该平面分割为两段,短的一段之长度称为球冠的高.证明:球半径为R高为h的球冠的面积与整个球面面积之比为h:2R.
▼优质解答
答案和解析
证明:由题意,设球面方程为:x2+y2+z2=R2,则
当z=R-h时,有x2+y2=R2-(R-h)2
即当球冠∑的高为h时,球冠在xoy面的投影为x2+y2≤R2-(R-h)2
又对球冠x2+y2+z2=R2(R-h≤z≤R)上的任意点(x,y)有
dS=
1+zx2+zy2
dxdy=
1+(−
x
z
)2+(−
y
z
)2
dxdy=
R
R2−x2−y2
dxdy
∴球冠的面积
A=
∫∫
dS=
∫∫
x2+y2≤R2−(R−h)2
R
R2−x2−y2
dxdy
=
0
R
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